Question

6．已知数列{a_n}满足：$\{\frac{a_n}{n}\}$是公差为1的等差数列，且${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}{a_n}}}}$，求数列{b_n}的前n项和；
（3）设${c_n}=\frac{1}{{\root{4}{a_n}}}$，${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}≤2\sqrt{n}-1$．

Answer 1

分析 （1）通过${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$及公差可知首项$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，进而利用等差数列的通项公式可得结论；
（2）通过（1）裂项可知${b_n}=\frac{1}{{（{n+1}）n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论；
（3）通过（1）放缩、并项相加可得结论．

解答 解：（1）因为$\{\frac{a_n}{n}\}$是公差为1的等差数列，且${a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}{a_n}+1$，
所以$\frac{a_2}{2}-{a_1}=1，{a_2}=3{a_1}+1，解之得{a_1}=1$…（2分）
所以$\frac{a_n}{n}=1+（{n-1}）=n$，
所以${a_n}={n^2}$…（4分）
（2）因为${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}{a_n}}}}$，
所以${b_n}=\frac{1}{{（{n+1}）n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$…（6分）
所以数列{b_n}的前n项和${s_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$…（8分）
（3）因为${c_n}=\frac{1}{{\root{4}{a_n}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}=\frac{2}{{2\sqrt{n}}}＜\frac{2}{{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}}=2（{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}）（{n≥2}）$…（10分）
   所以${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}≤1+2（{\sqrt{2}-1}）+2（{\sqrt{3}-\sqrt{2}}）+…+2（{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}）=2\sqrt{n}-1$，
当且仅当n=1时取等号…（12分）

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．