Question

11．已知函数f（x）=2xlnx-1．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≤3x²+2ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（2）由题意可得a≥lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，在（0，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，求解最大值，即可求解a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2lnx+2，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增；
故f（x）的最小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{2}{e}$-1；
（2）不等式f（x）≤3x³+2ax恒成立，
可得：a≥lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{2x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，
h′（x）=0，得：x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍去），
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
∴当x=1时，h（x）_max=-2，
∴a≥-2，
∴实数a的取值范围：[-2，+∞）．

点评 本题考查了利用导数在函数单调性中的应用，运用导数求解函数最值，解决不等式恒成立问题，属于中档题．