Question

20．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{array}]$，B=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$．
（1）求AB；
（2）若曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C₂，求C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）按矩阵乘法规律计算；
（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C₁的方程化简即可．

解答 解：（1）AB=$（\begin{array}{l}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{0}&{2}\\{1}&{0}\end{array}）$，
（2）设点P（x，y）为曲线C₁的任意一点，
点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x₀，y₀），
则$（\begin{array}{l}{0}&{2}\\{1}&{0}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{2y}\\{x}\end{array}）$，即x₀=2y，y₀=x，
∴x=y₀，y=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}=1$，即x₀²+y₀²=8，
∴曲线C₂的方程为x²+y²=8．

点评 本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．