Question

5．设函数f（x）=（1-x²）e^x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（2）化简f（x）=（1-x）（1+x）e^x．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）=（1-x²）e^x，x∈R，
所以f′（x）=（1-2x-x²）e^x，
令f′（x）=0可知x=-1±$\sqrt{2}$，
当x＜-1-$\sqrt{2}$或x＞-1+$\sqrt{2}$时f′（x）＜0，当-1-$\sqrt{2}$＜x＜-1+$\sqrt{2}$时f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1-$\sqrt{2}$），（-1+$\sqrt{2}$，+∞）上单调递减，在（-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$）上单调递增；
（2）由题可知f（x）=（1-x）（1+x）e^x．下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，设函数h（x）=（1-x）e^x，则h′（x）=-xe^x＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1-x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1-0-1=0，
所以e^x≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1-x）（1+x）²，
所以（1-x）（1+x）²-ax-1=x（1-a-x-x²），
取x₀=$\frac{\sqrt{5-4a}-1}{2}$∈（0，1），则（1-x₀）（1+x₀）²-ax₀-1=0，
所以f（x₀）＞ax₀+1，矛盾；
③当a≤0时，取x₀=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$∈（0，1），则f（x₀）＞（1-x₀）（1+x₀）²=1≥ax₀+1，矛盾；
综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．