Question

17．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC² =AP•AB．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．

解答 证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°-∠ACP，∠CAB=90°-∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$．
∴AC² =AP•AB．

点评 本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．