Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+3，x≤1}\\{x+\frac{2}{x}，x＞1}\end{array}$，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{47}{16}$，2]
• B． [-$\frac{47}{16}$，$\frac{39}{16}$]
• C． [-2$\sqrt{3}$，2]
• D． [-2$\sqrt{3}$，$\frac{39}{16}$]

Answer 1

分析 讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得-x²+$\frac{1}{2}$x-3≤a≤x²-$\frac{3}{2}$x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得-（$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$）≤a≤$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．

解答 解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，
即为-x²+x-3≤$\frac{x}{2}$+a≤x²-x+3，
即有-x²+$\frac{1}{2}$x-3≤a≤x²-$\frac{3}{2}$x+3，
由y=-x²+$\frac{1}{2}$x-3的对称轴为x=$\frac{1}{4}$＜1，可得x=$\frac{1}{4}$处取得最大值-$\frac{47}{16}$；
由y=x²-$\frac{3}{2}$x+3的对称轴为x=$\frac{3}{4}$＜1，可得x=$\frac{3}{4}$处取得最小值$\frac{39}{16}$，
则-$\frac{47}{16}$≤a≤$\frac{39}{16}$①
当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|$\frac{x}{2}$+a|在R上恒成立，
即为-（x+$\frac{2}{x}$）≤$\frac{x}{2}$+a≤x+$\frac{2}{x}$，
即有-（$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$）≤a≤$\frac{x}{2}$+$\frac{2}{x}$，
由y=-（$\frac{3}{2}$x+$\frac{2}{x}$）≤-2$\sqrt{\frac{3x}{2}•\frac{2}{x}}$=-2$\sqrt{3}$（当且仅当x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$＞1）取得最大值-2$\sqrt{3}$；
由y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}x•\frac{2}{x}}$=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．
则-2$\sqrt{3}$≤a≤2②
由①②可得，-$\frac{47}{16}$≤a≤2．
另解：作出f（x）的图象和折线y=|$\frac{x}{2}$+a|
当x≤1时，y=x²-x+3的导数为y′=2x-1，
由2x-1=-$\frac{1}{2}$，可得x=$\frac{1}{4}$，
切点为（$\frac{1}{4}$，$\frac{45}{16}$）代入y=-$\frac{x}{2}$-a，解得a=-$\frac{47}{16}$；
当x＞1时，y=x+$\frac{2}{x}$的导数为y′=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
由1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，可得x=2（-2舍去），
切点为（2，3），代入y=$\frac{x}{2}$+a，解得a=2．
由图象平移可得，-$\frac{47}{16}$≤a≤2．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．