Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD面积为2$\sqrt{7}$，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．

解答 （1）证明：四棱锥P-ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴直线BC∥平面PAD；
（2）解：四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，
则AB=BC=x，CD=$\sqrt{2}x$，O是AD的中点，
连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，
则OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，PO=$\sqrt{3}x$，PE=$\sqrt{P{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}x}{\sqrt{2}}$，
△PCD面积为2$\sqrt{7}$，可得：$\frac{1}{2}PE•CD$=2$\sqrt{7}$，
即：$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}x•\sqrt{2}x=2\sqrt{7}$，解得x=2，PE=2$\sqrt{3}$．
则V _P-ABCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$（BC+AD）×AB×PO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+4）×2×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．