Question

10．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

Answer 1

分析 （1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）当n≤200时，Y=n（6-4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）_max=640-0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440-2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．

解答 解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，
P（X=200）=$\frac{2+16}{90}$=0.2，
P（X=300）=$\frac{36}{90}=0.4$，
P（X=500）=$\frac{25+7+4}{90}$=0.4，
∴X的分布列为：

X	200	300	500
P	0.2	0.4	0.4

（2）当n≤200时，Y=n（6-4）=2n≤400，EY≤400，
当200＜n≤300时，
若x=200，则Y=200×（6-4）+（n-200）×2-4）=800-2n，
若x≥300，则Y=n（6-4）=2n，
∴EY=p（x=200）×（800-2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800-2n）+0.8=1.2n+160，
∴EY≤1.2×300+160=520，
当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800-2n，
若x=300，则Y=300×（6-4）+（n-300）×（2-4）=1200-2n，
∴当n=300时，（EY）_max=640-0.4×300=520，
若x=500，则Y=2n，
∴EY=0.2×（800-2n）+0.4（1200-2n）+0.4×2n=640-0.4n，
当n≥500时，Y=$\left\{\begin{array}{l}{800-2n，x=200}\\{1200-2n，x=300}\\{2000-2n，x=500}\end{array}\right.$，
EY=0.2（800-2n）+0.4（1200-2n）+0.4（2000-2n）=1440-2n，
∴EY≤1440-2×500=440．
综上，当n=300时，EY最大值为520元．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．