Question

2．已知a＞0，b＞0，a³+b³=2．证明：
（1）（a+b）（a⁵+b⁵）≥4；
（2）a+b≤2．

Answer 1

分析 （1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a³+b³=2转化为$\frac{（a+b）^{3}-2}{3（a+b）}$=ab，再由均值不等式可得：$\frac{（a+b）^{3}-2}{3（a+b）}$=ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，即可得到$\frac{1}{4}$（a+b）³≤2，问题得以证明．

解答 证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a⁵+b⁵）≥（$\sqrt{a•{a}^{5}}$+$\sqrt{b•{b}^{5}}$）²=（a³+b³）²≥4，
当且仅当$\sqrt{a{b}^{5}}$=$\sqrt{b{a}^{5}}$，即a=b=1时取等号，
（2）∵a³+b³=2，
∴（a+b）（a²-ab+b²）=2，
∴（a+b）[（a+b）²-3ab]=2，
∴（a+b）³-3ab（a+b）=2，
∴$\frac{（a+b）^{3}-2}{3（a+b）}$=ab，
由均值不等式可得：$\frac{（a+b）^{3}-2}{3（a+b）}$=ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）³-2≤$\frac{3（a+b）^{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$（a+b）³≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．

点评 本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题