Question

12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin²$\frac{B}{2}$．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π-B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin²$\frac{B}{2}$，结合sin²B+cos²B=1，求出cosB，
（2）由（1）可知sinB=$\frac{8}{17}$，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．

解答 解：（1）sin（A+C）=8sin²$\frac{B}{2}$，
∴sinB=4（1-cosB），
∵sin²B+cos²B=1，
∴16（1-cosB）²+cos²B=1，
∴（17cosB-15）（cosB-1）=0，
∴cosB=$\frac{15}{17}$；
（2）由（1）可知sinB=$\frac{8}{17}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac•sinB=2，
∴ac=$\frac{17}{2}$，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-2×$\frac{17}{2}$×$\frac{15}{17}$
=a²+c²-15=（a+c）²-2ac-15=36-17-15=4，
∴b=2．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题