Question

6．已知函数f（x）=x²+2cosx，g（x）=e^x（cosx-sinx+2x-2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）-a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

Answer 1

分析 （I）f（π）=π²-2．f′（x）=2x-2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．
（II）h（x）=g （x）-a f（x）=e^x（cosx-sinx+2x-2）-a（x²+2cosx），可得h′（x）=2（x-sinx）（e^x-a）=2（x-sinx）（e^x-e^lna）．令u（x）=x-sinx，则u′（x）=1-cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．
由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．

解答 解：（I）f（π）=π²-2．f′（x）=2x-2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y-（π²-2）=2π（x-π）．
化为：2πx-y-π²-2=0．
（II）h（x）=g （x）-a f（x）=e^x（cosx-sinx+2x-2）-a（x²+2cosx）
h′（x）=e^x（cosx-sinx+2x-2）+e^x（-sinx-cosx+2）-a（2x-2sinx）
=2（x-sinx）（e^x-a）=2（x-sinx）（e^x-e^lna）．
令u（x）=x-sinx，则u′（x）=1-cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．
∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
（1）a≤0时，e^x-a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；
x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（-∞，0）单调递减．
∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=-1-2a．
（2）a＞0时，令h′（x）=2（x-sinx）（e^x-e^lna）=0．
解得x₁=lna，x₂=0．
①0＜a＜1时，x∈（-∞，lna）时，e^x-e^lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（lna，0）时，e^x-e^lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（0，+∞）时，e^x-e^lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=-2a-1．
当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=-a[ln²a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．
③1＜a时，lna＞0，x∈（-∞，0）时，e^x-e^lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（0，lna）时，e^x-e^lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，e^x-e^lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=-2a-1．
当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=-a[ln²a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（-∞，0）单调递减．
x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=-1-2a．
0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（-∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=-2a-1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=-a[ln²a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．
a＞1时，函数h（x）在（-∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=-2a-1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=-a[ln²a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．