Question

17．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{NM}$．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=-3上，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PQ}$=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

Answer 1

分析 （1）设M（x₀，y₀），由题意可得N（x₀，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；
（2）设Q（-3，m），P（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得证．

解答 解：（1）设M（x₀，y₀），由题意可得N（x₀，0），
设P（x，y），由点P满足$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{NM}$．
可得（x-x₀，y）=$\sqrt{2}$（0，y₀），
可得x-x₀=0，y=$\sqrt{2}$y₀，
即有x₀=x，y₀=$\frac{y}{\sqrt{2}}$，
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
即有点P的轨迹方程为圆x²+y²=2；
（2）证明：设Q（-3，m），P（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），（0≤α＜2π），
$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{PQ}$=1，可得（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）•（-3-$\sqrt{2}$cosα，m-$\sqrt{2}$sinα）=1，
即为-3$\sqrt{2}$cosα-2cos²α+$\sqrt{2}$msinα-2sin²α=1，
解得m=$\frac{3（1+\sqrt{2}cosα）}{\sqrt{2}sinα}$，
即有Q（-3，$\frac{3（1+\sqrt{2}cosα）}{\sqrt{2}sinα}$），
椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦点F（-1，0），
由$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{OQ}$=（-1-$\sqrt{2}$cosα，-$\sqrt{2}$sinα）•（-3，$\frac{3（1+\sqrt{2}cosα）}{\sqrt{2}sinα}$）
=3+3$\sqrt{2}$cosα-3（1+$\sqrt{2}$cosα）=0．
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．