Question

5．已知定点F（2，0），定直线l：x=$\frac{1}{2}$，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍，设点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）若F₁（-2，0），直线l₁：y=x+t，t∈（-1，1）与曲线E交于C、D两点，求四边形F₁CFD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式及点到直线的距离公式，即可整理即可求得E的方程；
（2）将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨CD丨，根据点到直线的距离公式，由绝对值的几何意义及二次函数的性质，即可求得四边形F₁CFD面积的最小值．

解答 解：（1）设P（x，y），P到F的距离d=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，P到定直线l：x=$\frac{1}{2}$的距离为丨x-$\frac{1}{2}$丨，
由题意可知：$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=2丨x-$\frac{1}{2}$丨，整理得：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（y≠0）
∴E的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（y≠0）；
（2）由（1）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：2x²-2xt-（t²+3）=0，
x₁+x₂=t，x₁+x₂=-$\frac{{t}^{2}+3}{2}$，
则丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{3{t}^{2}+6}$，
F₁（-2，0）到直线y=x+t的距离d₁=$\frac{丨-2+t丨}{\sqrt{2}}$，F（2，0）到y=x+t的距离d₂=$\frac{丨2+t丨}{\sqrt{2}}$，
四边形F₁CFD面积S=$\frac{1}{2}$×丨CD×丨（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$$\sqrt{3{t}^{2}+6}$×（$\frac{丨-2+t丨}{\sqrt{2}}$+$\frac{丨2+t丨}{\sqrt{2}}$）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3{t}^{2}+6}$（丨t-2丨+丨t+2丨），t∈（-1，1），
由当t∈（-1，1），丨t-2丨+丨t+2丨=4，
∴S=2$\sqrt{3{t}^{2}+6}$，t∈（-1，1），
∴当t=0时，S取最小值，最小值为2$\sqrt{6}$，
四边形F₁CFD面积的最小值2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查双曲线的轨迹方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，绝对值的几何意义，考查计算能力，属于中档题．