Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为$\frac{b^2}{2}$．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=$\frac{3}{2}$c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．
（i）求直线FP的斜率；
（ii）求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过$\frac{1}{2}（c+a）c=\frac{b^2}{2}$．转化求解椭圆的离心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my-c（m＞0），则直线FP的斜率为$\frac{1}{m}$．通过a=2c，可得直线AE的方程为$\frac{x}{2c}+\frac{y}{c}=1$，求解点Q的坐标为$（\frac{（2m-2）c}{m+2}，\frac{3c}{m+2}）$．利用|FQ|=$\frac{3c}{2}$，求出m，然后求解直线FP的斜率．
（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立通过$|FP|=\sqrt{{{（c+c）}^2}+{{（\frac{3c}{2}）}^2}}=\frac{5c}{2}$，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得$\frac{1}{2}（c+a）c=\frac{b^2}{2}$．又由b²=a²-c²，可得2c²+ac-a²=0，即2e²+e-1=0．又因为0＜e＜1，解得$e=\frac{1}{2}$．
所以，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my-c（m＞0），则直线FP的斜率为$\frac{1}{m}$．
由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为$\frac{x}{2c}+\frac{y}{c}=1$，即x+2y-2c=0，与直线FP的方程联立，可解得$x=\frac{（2m-2）c}{m+2}，y=\frac{3c}{m+2}$，即点Q的坐标为$（\frac{（2m-2）c}{m+2}，\frac{3c}{m+2}）$．
由已知|FQ|=$\frac{3c}{2}$，有${[\frac{（2m-2）c}{m+2}+c]^2}+{（\frac{3c}{m+2}）^2}={（\frac{3c}{2}）^2}$，整理得3m²-4m=0，所以$m=\frac{4}{3}$，即直线FP的斜率为$\frac{3}{4}$．
（ii）解：由a=2c，可得$b=\sqrt{3}c$，故椭圆方程可以表示为$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$．
由（i）得直线FP的方程为3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+3c=0\\ \frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1\end{array}\right.$消去y，整理得7x²+6cx-13c²=0，解得$x=-\frac{13c}{7}$（舍去），或x=c．因此可得点$P（c，\frac{3c}{2}）$，进而可得$|FP|=\sqrt{{{（c+c）}^2}+{{（\frac{3c}{2}）}^2}}=\frac{5c}{2}$，所以$|PQ|=|FP|-|FQ|=\frac{5c}{2}-\frac{3c}{2}=c$．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．
因为QN⊥FP，所以$|QN|=|FQ|•tan∠QFN=\frac{3c}{2}×\frac{3}{4}=\frac{9c}{8}$，所以?÷FQN的面积为$\frac{1}{2}|FQ||QN|=\frac{{27{c^2}}}{32}$，同理?÷FPM的面积等于$\frac{{75{c^2}}}{32}$，由四边形PQNM的面积为3c，得$\frac{{75{c^2}}}{32}-\frac{{27{c^2}}}{32}=3c$，整理得c²=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，椭圆的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．