Question

12．若函数y=f（x）的定义域为R，对于?x∈R，f′（x）＜f（x），且f（x+1）为偶函数，f（2）=1，不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 由已知对于?x∈R，f′（x）＜f（x），可联想构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求导得其单调性，结合f（x+1）为偶函数，且f（2）=1求得g（0）=1，把不等式f（x）＜e^x变形后利用函数单调性求解得答案．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{{e}^{2x}}=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵对于?x∈R，f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，
∴函数g（x）为实数上的减函数，
∵f（x+1）为偶函数，∴f（1+x）=f（1-x），即f（2+x）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，则f（0）=f（2）=1．
∴g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}=1$．
由f（x）＜e^x，得$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，即g（x）＜g（0）．
∵函数g（x）为实数上的减函数，
∴x＞0．
∴不等式f（x）＜e^x的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．