Question

4．（1）证明：如果a＞0，b＞0，那么$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$；
（2）已知2x+3y+4z=10，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 （1）作差利用乘法公式与实数的性质即可得出．
（2）利用柯西不等式的性质即可得出．

解答 （1）证明：$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}-（\sqrt{a}+\sqrt{b}）$=$\frac{a}{{\sqrt{b}}}-\sqrt{b}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}-\sqrt{a}$=$\frac{a-b}{{\sqrt{b}}}+\frac{b-a}{{\sqrt{a}}}$=$（a-b）（\frac{1}{{\sqrt{b}}}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}）$=$\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}}{{\sqrt{ab}}}$
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}}{{\sqrt{ab}}}≥0$，
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}+\frac{b}{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
（2）∵（2²+3²+4²）（x²+y²+z²）≥（2x+3y+4z）²=100，
∴x²+y²+z²≥$\frac{100}{29}$，当且仅当$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$=$\frac{10}{29}$时取等号．
∴x²+y²+z²的最小值为$\frac{100}{29}$．

点评 本题考查了柯西不等式的性质、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．