Question

13．若函数$f（x）=\frac{4x}{x+4}{，_{\;}}且{x_1}=1，{x_{n+1}}=f（{x_n}）$，则x₂₀₁₇=$\frac{1}{505}$．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，构造数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}，得到数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是等差数列，结合等差数列的通项公式进行求解即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{4x}{x+4}{，_{\;}}且{x_1}=1，{x_{n+1}}=f（{x_n}）$，
∴x_n+1=$\frac{4{x}_{n}}{{x}_{n}+4}$，
则$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{{x}_{n}+4}{4{x}_{n}}$=$\frac{1}{{x}_{n}}$+$\frac{1}{4}$，
即$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，
则数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是公差d=$\frac{1}{4}$的等差数列，首项为1，
则$\frac{1}{{x}_{n}}$=1+$\frac{1}{4}$（n-1），
则$\frac{1}{{x}_{2017}}$=1+$\frac{1}{4}×2016$=1+504=505，
则x₂₀₁₇=$\frac{1}{505}$，
故答案为：$\frac{1}{505}$

点评 本题主要考查递推数列的应用，根据条件构造等差数列是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．