Question

5．设${（{1+x+{x^2}}）^n}={a_0}+{a_1}x+{a_1}{x^2}+…+{a_{2n}}{x^{2n}}$．
（1）求a₀的值；
（2）求$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2n}}}}{{{2^{2n}}}}$的值；
（3）求a₂+a₄+…+a_2n的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0，可得a₀．
（2）令x=$\frac{1}{2}$，可得1+$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2n}}}}{{{2^{2n}}}}$=$（\frac{7}{4}）^{n}$，即可得出．
（3）由${（{1+x+{x^2}}）^n}={a_0}+{a_1}x+{a_1}{x^2}+…+{a_{2n}}{x^{2n}}$．令x=1，可得：a₀+a₁+a₂+…+a_2n=3ⁿ，令x=-1，可得a₀-a₁+a₂-…+a_2n=1．相加即可得出．

解答 解：（1）令x=0，可得a₀=1．
（2）令x=$\frac{1}{2}$，可得1+$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2n}}}}{{{2^{2n}}}}$=（$\frac{7}{4}$）ⁿ；
∴$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2n}}}}{{{2^{2n}}}}$=$（\frac{7}{4}）^{n}$-1．
（3）由${（{1+x+{x^2}}）^n}={a_0}+{a_1}x+{a_1}{x^2}+…+{a_{2n}}{x^{2n}}$．
令x=1，可得：a₀+a₁+a₂+…+a_2n=3ⁿ，
令x=-1，可得a₀-a₁+a₂-…+a_2n=1．
相加可得：a₀+a₂+a₄+…+a_2n=$\frac{1}{2}$[3ⁿ+1]．
∴a₂+a₄+…+a_2n=$\frac{1}{2}$[3ⁿ+1]-1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．