Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{4}{（{x+1}）^2}$．
（1）证明：f（x）+|f（x）-2|≥2；
（2）当x≠-1时，求y=$\frac{1}{4f（x）}+{[{f（x）}]^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过绝对值不等式放缩可得结论；
（2）通过当x≠-1时f（x）=$\frac{1}{4}{（{x+1}）^2}$＞0，利用基本不等式的推广放缩可得结论．

解答 （1）证明：因为f（x）=$\frac{1}{4}{（{x+1}）^2}$≥0，
所以f（x）+|f（x）-2|=|f（x）|+|2-f（x）|≥|f（x）+2-f（x）|=2，
当且仅当f（x）[2-f（x）]≥0即0≤f（x）≤2即-1-2$\sqrt{2}$≤x≤-1+2$\sqrt{2}$时取等号；
（2）解：当x≠-1时，f（x）=$\frac{1}{4}{（{x+1}）^2}$＞0，
所以y=$\frac{1}{4f（x）}+{[{f（x）}]^2}$=$\frac{1}{8f（x）}$+$\frac{1}{8f（x）}$+[f（x）]²≥3•$\root{3}{\frac{1}{8f（x）}•\frac{1}{8f（x）}•[f（x）]^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
当且仅当$\frac{1}{8f（x）}$=$\frac{1}{8f（x）}$=[f（x）]²即x=-1±$\sqrt{2}$时取等号，
所以所求最小值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查绝对值不等式，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．