Question

2．已知函数f（x）=x²+2ax+2lnx（a∈R），g（x）=2e^x+3x²（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，由x＞0，根据基本不等式的性质，求得f′（x）的取值范围，分类讨论，根据函数的单调性即可求得函数f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）令f（x）=g（x），则$a=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$，构造辅助函数，根据函数的单调性，φ（x）≥φ（1）=e+1，当x→0时，φ（x）→+∞，当x→+∞时，φ（x）→+∞，函数y=f（x）图象与函数y=g（x）图象有两个不同交点，即可求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{2}{x}+2x+2a$，x∈（0，+∞），
∴$\frac{2}{x}+2x+2a$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}×2a}$+2a=4+2a，
∴f'（x）∈[4+2a，+∞），
①当4+2a≥0，即a∈[-2，+∞）时，f'（x）≥0对?x＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）没有极值点；
②当4+2a＜0，即a∈（-∞，-2）时，方程x²+ax+1=0有两个不等正数解x₁，x₂，
$f'（x）=\frac{2}{x}+2x+2a=\frac{{2（{x^2}+ax+1）}}{x}=\frac{{2（x-{x_1}）（x-{x_2}）}}{x}（x＞0）$，
不妨设0＜x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，
∴x₁，x₂分别为f（x）极大值点和极小值点，即f（x）有两个极值点．
综上所述，当a∈[-2，+∞）时，f（x）没有极值点；当a∈（-∞，-2）时，f（x）有两个极值点．
（Ⅱ）令f（x）=g（x），得2lnx+x²+2ax=2e^x+3x²，即ax=e^x+x²-lnx，
∵x＞0，∴$a=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$，
令$φ（x）=\frac{{{e^x}+{x^2}-lnx}}{x}$（x＞0），$φ'（x）=\frac{{（{e^x}-\frac{1}{x}+2x）x-（{e^x}+{x^2}-lnx）}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）+lnx+（x-1）（x+1）}}{x^2}$，
∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数；x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
当x→0时，φ（x）→+∞，当x→+∞时，φ（x）→+∞，
∵函数y=f（x）图象与函数y=g（x）图象有两个不同交点，
∴实数a的取值范围为（e+1，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查分离参数法求参数的取值范围，考查分析问题及解决问题的能力，属于难题．