Question

7．（1）求不等式|x-1|+|x-2|-3＞0的解集；
（2）已知a₁，a₂，…，a_n∈R，且a₁•a₂•…•a_n=1，求证：（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n）≥2ⁿ．

Answer 1

分析 （1）对x的范围进行讨论，去绝对值符号解出；
（2）利用基本不等式证明．

解答 （1）解：当x＜1时，不等式化为1-x+2-x-3＞0，解得x＜0；
当1≤x≤2时，不等式化为x-1+2-x-3＞0，方程无解；
当x＞2，不等式化为x-1+x-2-3＞0，解得x＞3．
综上，不等式的解集为{x|x＜0或x＞3}．
（2）证明：∵a₁，a₂，…，a_n∈R，
∴1+a₁≥2$\sqrt{{a}_{1}}$，1+a₂≥2$\sqrt{{a}_{2}}$，…，1+a_n≥2$\sqrt{{a}_{n}}$，
∴（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n）≥2ⁿ•$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=2ⁿ．
当且仅当a₁=a₂=…=a_n=1时取等号．

点评 本题考查了含绝对值的不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．