Question

17．已知函数f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，1]．
（1）求f（x）的极值点；
（2）证明：f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求导，令f′（x）=0，利用导数求得函数的单调性区间，根据函数单调性与函数极值的关系，即可求得f（x）的极值点；
（2）由g（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$在（0，1]单调递增，即可求得g（x）的最大值，由（1）求得f（x）的最小值，即可求得f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）由f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，求导，f′（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$，
由当x∈（0，$\frac{1}{\root{3}{2}}$]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（$\frac{1}{\root{3}{2}}$，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴当x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$时，f（x）取极小值，极小值为：f（$\frac{1}{\root{3}{2}}$）=${2}^{-\frac{2}{3}}$+${2}^{\frac{1}{3}}$，
f（x）的极值点x=$\frac{1}{\root{3}{2}}$；
（2）证明：设g（x）=$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$＞0，
则g（x）在（0，1]单调递增，则g（x）_max=$\frac{7}{4}$，
由（1）可知：f（x）在（0，1）上的最小值为：f（$\frac{1}{\root{3}{2}}$）=${2}^{-\frac{2}{3}}$+${2}^{\frac{1}{3}}$＞$\frac{7}{4}$，
∴x∈（0，1]，f（x）＞$\sqrt{x}$+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及极值，考查不等式的证明，考查计算能力，属于中档题．