Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=$\sqrt{5}$（a²-b²-c²）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B-A）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由$ac=\sqrt{5}（{a^2}-{b^2}-{c^2}）$，得${b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5}ac$，代入余弦定理的推论可求cosA的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B-A）的值．

解答 （Ⅰ）解：由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得：$\frac{a}{4b}=\frac{b}{a}$，∴a=2b．
由$ac=\sqrt{5}（{a^2}-{b^2}-{c^2}）$，得${b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5}ac$，
由余弦定理，得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{-\frac{{\sqrt{5}}}{5}ac}}{ac}=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，代入asinA=4bsinB，得$sinB=\frac{asinA}{4b}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴$cosB=\sqrt{1-{{sin}^2}B}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
于是$sin2B=2sinBcosB=\frac{4}{5}$，$cos2B=1-2{sin^2}B=\frac{3}{5}$，
故$sin（2B-A）=sin2BcosA-cos2BsinA=\frac{4}{5}×（-\frac{{\sqrt{5}}}{5}）-\frac{3}{5}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．