Question

5．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{21}$，求线段AH的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，进一步求得正弦值；
（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出$\overrightarrow{NH}、\overrightarrow{BE}$的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{21}$列式求得线段AH的长．

解答 （Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵M为AD中点，∴MF∥BD，
∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N为BC中点，∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．
∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），
则$\overrightarrow{MN}=（1，2，-1）$，$\overrightarrow{ME}=（0，2，1）$，
设平面MEN的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{m}=（4，-1，2）$．
由图可得平面CME的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{4}{\sqrt{21}×1}=\frac{4\sqrt{21}}{21}$．
∴二面角C-EM-N的余弦值为$\frac{4\sqrt{21}}{21}$，则正弦值为$\frac{\sqrt{105}}{21}$；
（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），$\overrightarrow{NH}=（-1，-2，t）$，$\overrightarrow{BE}=（-2，2，2）$．
∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{21}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{NH}，\overrightarrow{BE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{NH}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{NH}||\overrightarrow{BE}|}$|=|$\frac{2t-2}{\sqrt{5+{t}^{2}}×2\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{7}}{21}$．
解得：t=$\frac{8}{5}$或t=$\frac{1}{2}$．
∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{21}$，此时线段AH的长为$\frac{8}{5}$或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．