Question

4．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ²）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得$\overline{x}$=$\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}{x_i}$=9.97，s=$\sqrt{\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}（\sum_{i=1}^{16}{{x}_{i}}^{2}-16{\overline{x}}^{2}）}$≈0.212，其中x_i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数$\overline{x}$作为μ的估计值$\hat μ$，用样本标准差s作为σ的估计值$\hat σ$，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974¹⁶≈0.9592，$\sqrt{0.008}$≈0.09．

Answer 1

分析 （1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ-3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数$\overline{x}$、样本标准差s估计$\hat μ$、$\hat σ$可知（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）=（9.334，10.606），进而需剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．

解答 解：（1）由题可知尺寸落在（μ-3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率为1-0.9974=0.0026，
因为P（X=0）=${C}_{16}^{0}$×（1-0.9974）⁰×0.9974¹⁶≈0.9592，
所以P（X≥1）=1-P（X=0）=0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）=16×0.0026=0.0416；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由$\overline{x}$=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为$\hat μ$=9.97，σ的估计值为$\hat σ$=0.212，由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
$\frac{1}{15}$（16×9.97-9.22）=10.02，
因此μ的估计值为10.02．
$\sum_{i=1}^{16}{x_i}$²=16×0.212²+16×9.97²≈1591.134，
剔除（$\hat μ$-3$\hat σ，\hat μ$+3$\hat σ$）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
$\frac{1}{15}$（1591.134-9.22²-15×10.02²）≈0.008，
因此σ的估计值为$\sqrt{0.008}$≈0.09．

点评 本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．