Question

19．在平面直角坐标系xOy中，A（-12，0），B（0，6），点P在圆O：x²+y²=50上．若$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤20，则点P的横坐标的取值范围是[-5$\sqrt{2}$，1]．

Answer 1

分析 根据题意，设P（x₀，y₀），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x₀+y₀+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．

解答 解：根据题意，设P（x₀，y₀），则有x₀²+y₀²=50，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（-12-x₀，-y₀）•（-x₀，6-y₀）=（12+x₀）x₀-y₀（6-y₀）=12x₀+6y+x₀²+y₀²≤20，
化为：12x₀-6y₀+30≤0，
即2x₀-y₀+5≤0，表示直线2x-y+5=0以及直线上方的区域，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}=50}\\{2{x}_{0}-{y}_{0}+5=0}\end{array}\right.$，解可得x₀=-5或x₀=1，
结合图形分析可得：点P的横坐标x₀的取值范围是[-5$\sqrt{2}$，1]，
故答案为：[-5$\sqrt{2}$，1]．

点评 本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x₀、y₀的关系式．