Question

14．已知数列{x_n}满足：x₁=1，x_n=x_n+1+ln（1+x_n+1）（n∈N^*），证明：当n∈N^*时，
（Ⅰ）0＜x_n+1＜x_n；
（Ⅱ）2x_n+1-x_n≤$\frac{{x}_{n}{x}_{n+1}}{2}$；
（Ⅲ）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤x_n≤$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
（Ⅲ）由$\frac{{x}_{n}{x}_{n+1}}{2}$≥2x_n+1-x_n得$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$≥2（$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{2}$）＞0，继续放缩即可证明

解答 解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x_n＞0，
当n=1时，x₁=1＞0，成立，
假设当n=k时成立，则x_k＞0，
那么n=k+1时，若x_k+1＜0，则0＜x_k=x_k+1+ln（1+x_k+1）＜0，矛盾，
故x_n+1＞0，
因此x_n＞0，（n∈N*）
∴x_n=x_n+1+ln（1+x_n+1）＞x_n+1，
因此0＜x_n+1＜x_n（n∈N^*），
（Ⅱ）由x_n=x_n+1+ln（1+x_n+1）得x_nx_n+1-4x_n+1+2x_n=x_n+1²-2x_n+1+（x_n+1+2）ln（1+x_n+1），
记函数f（x）=x²-2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）=$\frac{2{x}^{2}+x}{x+1}$+ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此x_n+1²-2x_n+1+（x_n+1+2）ln（1+x_n+1）≥0，
故2x_n+1-x_n≤$\frac{{x}_{n}{x}_{n+1}}{2}$；
（Ⅲ）∵x_n=x_n+1+ln（1+x_n+1）≤x_n+1+x_n+1=2x_n+1，
∴x_n≥$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
由$\frac{{x}_{n}{x}_{n+1}}{2}$≥2x_n+1-x_n得$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{2}$≥2（$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{2}$）＞0，
∴$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{2}$≥2（$\frac{1}{{x}_{n-1}}$-$\frac{1}{2}$）≥…≥2^n-1（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$）=2^n-2，
∴x_n≤$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
综上所述$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤x_n≤$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

点评 本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题