Question

10．在直角坐标系xOy中，曲线y=x²+mx-2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

Answer 1

分析 （1）设曲线y=x²+mx-2与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为-1，即可判断是否存在这样的情况；
（2）设过A、B、C三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），由题意可得D=m，F=-2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．

解答 解：（1）曲线y=x²+mx-2与x轴交于A、B两点，
可设A（x₁，0），B（x₂，0），
由韦达定理可得x₁x₂=-2，
若AC⊥BC，则k_AC•k_BC=-1，
即有$\frac{1-0}{0-{x}_{1}}$•$\frac{1-0}{0-{x}_{2}}$=-1，
即为x₁x₂=-1这与x₁x₂=-2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），
由题意可得y=0时，x²+Dx+F=0与x²+mx-2=0等价，
可得D=m，F=-2，
圆的方程即为x²+y²+mx+Ey-2=0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E-2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x²+y²+mx+y-2=0，
另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），
则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，
即有2=|OH|，
再令x=0，可得y²+y-2=0，
解得y=1或-2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，-2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．

点评 本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．