Question

20．已知函数f（x）=-x²+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=-x²+x+4，g（x）=|x+1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞1}\\{2，-1≤x≤1}\\{-2x，x＜-1}\end{array}\right.$，分x＞1、x∈[-1，1]、x∈（-∞，-1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[-1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$]；
（2）依题意得：-x²+ax+4≥2在[-1，1]恒成立?x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}{{1}^{2}-a•1-2≤0}\\{{（-1）}^{2}-a（-1）-2≤0}\end{array}\right.$，解之即可得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=-x²+x+4，是开口向下，对称轴为x=$\frac{1}{2}$的二次函数，
g（x）=|x+1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞1}\\{2，-1≤x≤1}\\{-2x，x＜-1}\end{array}\right.$，
当x∈（1，+∞）时，令-x²+x+4=2x，解得x=$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$]；
当x∈[-1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（-1）=2．
当x∈（-∞，-1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（-1）=f（-1）=2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[-1，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$]；
（2）依题意得：-x²+ax+4≥2在[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0在[-1，1]恒成立，则只需$\left\{\begin{array}{l}{{1}^{2}-a•1-2≤0}\\{{（-1）}^{2}-a（-1）-2≤0}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤1，
故a的取值范围是[-1，1]．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．