Question

12．已知抛物线C：y²=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则坐标原点O在圆M上；
（2）由题意可知：$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．

解答 解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，-2），
则$\overrightarrow{OA}$=（2，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，-2），则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
则坐标原点O在圆M上；
当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（4k²+2）x+4k²=0，
则x₁x₂=4，4x₁x₂=y₁²y₂²=（y₁y₂）²，由y₁y₂＜0，
则y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，则坐标原点O在圆M上，
综上可知：坐标原点O在圆M上；
方法二：设直线l的方程x=my+2，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，整理得：y²-2my-4=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁y₂=-4，
则（y₁y₂）²=4x₁x₂，则x₁x₂=4，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，则坐标原点O在圆M上，
∴坐标原点O在圆M上；
（2）由（1）可知：x₁x₂=4，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，y₁y₂=-4，
圆M过点P（4，-2），则$\overrightarrow{AP}$=（4-x₁，-2-y₁），$\overrightarrow{BP}$=（4-x₂，-2-y₂），
由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，则（4-x₁）（4-x₂）+（-2-y₁）（-2-y₂）=0，
整理得：k²+k-2=0，解得：k=-2，k=1，
当k=-2时，直线l的方程为y=-2x+4，
则x₁+x₂=$\frac{9}{2}$，y₁+y₂=-1，
则M（$\frac{9}{4}$，-$\frac{1}{2}$），半径为r=丨MP丨=$\sqrt{（4-\frac{9}{4}）^{2}+（-2+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{4}$，
∴圆M的方程（x-$\frac{9}{4}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{85}{16}$．
当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x-2，
同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=$\sqrt{10}$，
∴圆M的方程为（x-3）²+（y-1）²=10，
综上可知：直线l的方程为y=-2x+4，圆M的方程（x-$\frac{9}{4}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{85}{16}$
或直线l的方程为y=x-2，圆M的方程为（x-3）²+（y-1）²=10．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．