Question

7．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{{2}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$，则满足f（x）+f（x-$\frac{1}{2}$）＞1的x的取值范围是（$-\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．

解答 解：若x≤0，则x-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2}$，
则f（x）+f（x-$\frac{1}{2}$）＞1等价为x+1+x-$\frac{1}{2}$+1＞1，即2x＞-$\frac{1}{2}$，则x＞$-\frac{1}{4}$，
此时$-\frac{1}{4}$＜x≤0，
当x＞0时，f（x）=2^x＞1，x-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，
当x-$\frac{1}{2}$＞0即x＞$\frac{1}{2}$时，满足f（x）+f（x-$\frac{1}{2}$）＞1恒成立，
当0≥x-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$≥x＞0时，f（x-$\frac{1}{2}$）=x-$\frac{1}{2}$+1=x+$\frac{1}{2}$$＞\frac{1}{2}$，
此时f（x）+f（x-$\frac{1}{2}$）＞1恒成立，
综上x＞$-\frac{1}{4}$，
故答案为：（$-\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．