Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²＞3a；
（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于-$\frac{7}{2}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过对f（x）=x³+ax²+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x²+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=-$\frac{a}{3}$，从而f（-$\frac{a}{3}$）=0，整理可知b=$\frac{2{a}^{2}}{9}$+$\frac{3}{a}$（a＞0），结合f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．
（2）通过（1）构造函数h（a）=b²-3a=$\frac{4{a}^{4}}{81}$-$\frac{5a}{3}$+$\frac{9}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{81{a}^{2}}$（4a³-27）（a³-27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；
（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（-$\frac{a}{3}$）=b-$\frac{{a}^{2}}{3}$，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为$\frac{4{a}^{3}}{27}$-$\frac{2ab}{3}$+2，进而问题转化为解不等式b-$\frac{{a}^{2}}{3}$+$\frac{4{a}^{3}}{27}$-$\frac{2ab}{3}$+2=$\frac{3}{a}$-$\frac{{a}^{2}}{9}$≥-$\frac{7}{2}$，因式分解即得结论．

解答 （1）解：因为f（x）=x³+ax²+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x²+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=-$\frac{a}{3}$．
由于当x＞-$\frac{a}{3}$时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜-$\frac{a}{3}$时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；
所以f′（x）的极小值点为x=-$\frac{a}{3}$，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，
所以f（-$\frac{a}{3}$）=0，即-$\frac{{a}^{3}}{27}$+$\frac{{a}^{3}}{9}$-$\frac{ab}{3}$+1=0，
所以b=$\frac{2{a}^{2}}{9}$+$\frac{3}{a}$（a＞0）．
因为f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
所以f′（x）=3x²+2ax+b=0的实根，
所以4a²-12b≥0，即a²-$\frac{2{a}^{2}}{3}$+$\frac{9}{a}$≥0，解得a≥3，
所以b=$\frac{2{a}^{2}}{9}$+$\frac{3}{a}$（a≥3）．
（2）证明：由（1）可知h（a）=b²-3a=$\frac{4{a}^{4}}{81}$-$\frac{5a}{3}$+$\frac{9}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{81{a}^{2}}$（4a³-27）（a³-27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b²＞3a；
（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（-$\frac{a}{3}$）=b-$\frac{{a}^{2}}{3}$，
设x₁，x₂是y=f（x）的两个极值点，则x₁+x₂=$-\frac{2a}{3}$，x₁x₂=$\frac{b}{3}$，
所以f（x₁）+f（x₂）=${{x}_{1}}^{3}$+${{x}_{2}}^{3}$+a（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）+b（x₁+x₂）+2
=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]+a[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+b（x₁+x₂）+2
=$\frac{4{a}^{3}}{27}$-$\frac{2ab}{3}$+2，
又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于-$\frac{7}{2}$，
所以b-$\frac{{a}^{2}}{3}$+$\frac{4{a}^{3}}{27}$-$\frac{2ab}{3}$+2=$\frac{3}{a}$-$\frac{{a}^{2}}{9}$≥-$\frac{7}{2}$，
因为a＞3，所以2a³-63a-54≤0，
所以2a（a²-36）+9（a-6）≤0，
所以（a-6）（2a²+12a+9）≤0，
由于a＞3时2a²+12a+9＞0，
所以a-6≤0，解得a≤6，
所以a的取值范围是（3，6]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．