Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=$\sqrt{6}$，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B-PD-A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小；
（3）求出$\overrightarrow{CM}$的坐标，由$\overrightarrow{CM}$与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

解答 （1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则$\frac{BO}{BD}=\frac{BM}{BP}$，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
由PA=PD=$\sqrt{6}$，AB=4，得D（2，0，0），A（-2，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），C（2，4，0），B（-2，4，0），M（-1，2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{DP}=（-2，0，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（-4，4，0）$．
设平面PBD的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+\sqrt{2}z=0}\\{-4x+4y=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}=（1，1，\sqrt{2}）$．
取平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（0，1，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2×1}=\frac{1}{2}$．
∴二面角B-PD-A的大小为60°；
（3）解：$\overrightarrow{CM}=（-3，-2，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，平面BDP的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（1，1，\sqrt{2}）$．
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{CM}||\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{-2}{\sqrt{9+4+\frac{1}{2}}×1}$|=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．