Question

15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=$\frac{1}{3}$，则cos（α-β）=-$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=$\frac{1}{3}$，cosα=-cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出
方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出

解答 解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴sinα=sinβ=$\frac{1}{3}$，cosα=-cosβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos²α+sin²α=2sin²α-1=$\frac{2}{9}$-1=-$\frac{7}{9}$
方法二：∵sinα=$\frac{1}{3}$，
当α在第一象限时，cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第二象限时，sinβ=sinα=$\frac{1}{3}$，cosβ=-cosα=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{7}{9}$
：∵sinα=$\frac{1}{3}$，
当α在第二象限时，cosα=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα=$\frac{1}{3}$，cosβ=-cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=-$\frac{7}{9}$
综上所述cos（α-β）=-$\frac{7}{9}$，
故答案为：-$\frac{7}{9}$

点评 本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题