Question

已知数列{a_n}满足a₂=3a₁，S_n是数列{a_n}的前n项和，且有S_n+1+S_n+S_n-1=3n²+2（n≥2，n∈N^*）
（1）若数列{a_n}为等差数列，求通项a_n；
（2）若对于任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系，结合等差数列的定义，即可求出数列{a_n}的通项a_n；
（2）利用数列a_n＜a_n+1恒成立，得到数列为递增数列，利用递增数列的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，
∴S₃+S₂+S₁=14，
即a₃+2a₂+3a₁=14，
又∵a₂=3a₁，∴a₃=14-9a₁
∵数列{a_n}为等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃，解得a₁=1，
∴d=a₂-a₁=2，
∴a_n=2n-1．
（2）∵Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2，n∈N*)，
∴Sn+2+Sn+1+Sn=3(n+1)2+2(n≥2，n∈N*)
两式作差得an+2+an+1+an=6n+3(n≥2，n∈N*)
∴an+3-an=6(n≥2，n∈N*)
可求得an=

a1，n=1 2n+3a1-4，n=3k-1，k∈N* 2n-9a1+8，n=3k，k∈N* 2n+6a1-7，n=3k+1，k∈N*

若任意n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴a₁＜a₂且a_3k-1＜a_3k＜a_3k+1＜a_3k+2
∴

a1＜3a1 3a1-6＜-9a1+8 -9a1+8＜6a1-5 6a1-5＜3a1

，解得

13

15

＜a1＜

7

6

即a₁的取值范围为

13

15

＜a1＜

7

6

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及递推数列的应用，考查学生的推理能力．