Question

某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量胁（m＞0）万吨．
（Ⅰ）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{a_n}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；
（Ⅱ）证明：数列{a_n-10m}是等比数列；
（Ⅲ）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量胁（m＞0）万吨，即可求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；
（Ⅱ）由a_n+1=0.9a_n+m（n≥1），可得a_n+1-10m=0.9（a_n-10m），即可证明数列{a_n-10m}是等比数列；
（Ⅲ）求出数列的通项，该市永远不需要采取紧急限排措施，则有?n∈N^*，a_n≤550，分类讨论，即可求m的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：由已知，a₁=40×0.9+m，a_n+1=0.9a_n+m（n≥1）
（Ⅱ）证明：∵a_n+1=0.9a_n+m（n≥1）
∴a_n+1-10m=0.9（a_n-10m），
∴数列{a_n-10m}是以36-9m为首项，0.9为公比的等比数列；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得a_n-10m=（36-9m）•0.9^n-1，
∴a_n=（36-9m）•0.9^n-1+10m．
由已知有?n∈N^*，a_n≤55
（1）当36-9m=0即m=4时，显然满足题意；
（2）当36-9m＞0，即m＜4时，
由指数函数的性质可得：（36-9m）×0.9⁰+10m≤55，解得m≤19，综合得m＜4；
（3）当36-9m＜0即m＞4时，
由指数函数的性质可得：10m≤55，解得m≤5.5，综合得4＜m≤5.5．
综上可得所求范围是m∈（0，5.5]．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查数列知识，考查解不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．