Question

设函数f（x）=x+

a

x

+b（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：利用导数求函数的单调区间，并用定义证明其单调性．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x

+b（a＞b＞0
∴f′（x）=1-

a

x2

则由1-

a

x2

≥0得x≤-

a

或x≥

a

，故函数f（x）的递增区间是（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）；
由1-

a

x2

≤0得，-

a

≤x≤

a

，又x≠0，故函数f（x）的递减区间是[-

a

，0），（0，

a

]．
下面证明f（x）在（0，

a

]上是减函数：
证明：设任意的x₁，x₂∈（0，

a

]，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

x1x2-a

x1x2

∵x₁，x₂∈（0，

a

]，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞a，x₁x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，

a

]上是减函数．
同理可证f（x）在[-

a

，0）上是减函数，在（-∞，-

a

]，[

a

，+∞）上是增函数．

点评：考查了利用导数求函数单调区间的方法，以及用函数单调性的定义证明函数的增减性的方法，属常规题目．