Question

在△ABC中，a，b，c分别是较A、B、C对边的长，且满足

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的值；
（2）若b=

19

，a+c=5．求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式即可得出；
（2）利用余弦定理和三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
∴（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，化为2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴2sinAcosB+sinA=0，
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴2cosB+1=0，
∴B∈（0，π），∴B=

2π

3

．
（2）b²=a²+c²-2accosB，
∵b=

19

，a+c=5．
∴19=（a+c）²-2ac-2accos

2π

3

，
∴19=5²-ac，ac=6．
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×6×sin

2π

3

=

3 3

2

．

点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、余弦定理和三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．