Question

已知等差数列{a_n}的各项都不为零，公差d＞0，且a₅+a₁₀=0，记数列{-

2

an

}的前n项和为S_n，则使S_n＜0成立的正整数n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出S₁₄=0，S₁₅＜0，由此能求出使S_n＜0成立的正整数n的最小值为15．

解答： 解：等差数列{a_n}的各项都不为零，公差d＞0，
∵a₅+a₁₀=0，
∴a₇+a₈=0，a₆+a₉=0，a₄+a₁₁=0，a₃+a₁₂=0，a₂+a₁₃=0，a₁+a₁₄=0，
∴a₁=-a₁₄，a₂=-a₁₃，a₃=-a₁₂，a₄=-a₁₁，a₅=-a₁₀，a₆=-a₉，a₇=-a₈，
∴（-

2

a1

）+（-

2

a14

）=0，（-

2

a2

）+（-

2

a13

）=0，…，
∴S₁₄=（-

2

a1

）+（-

2

a2

）+（-

2

a3

）+…+（-

2

a14

）=0，
∵a₇=-a₈，d＞0，
∴a₇＜0，a₈＞0，则当n≤7时，a_n＜0，当n≥8时，a_n＞0，
∴当n≤7时，-

2

an

＞0，当n≥8时，-

2

an

＜0，
∴当n≤7时，S_n随着n的增大而增大，且大于0，当n≥8时，S_n随着n的增大而减小，
∴S₁₅＜0，
∴使S_n＜0成立的正整数n的最小值为15．
故答案为：15．

点评：本题考查使S_n＜0成立的正整数n的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．