Question

14．已知平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点．
（1）用基底$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{MC}$、$\overrightarrow{NC}$；
（2）求证：M，N，C三点共线．

Answer 1

分析 （1）由于$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，即可得出．
（2）由（1）可得$\overrightarrow{NC}$=$\frac{2}{3}（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$，即可证明M，N，C三点共线．

解答 （1）解：$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$．
（2）证明：由（1）可得$\overrightarrow{NC}$=$\frac{2}{3}（\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$，
∴M，N，C三点共线．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量的线性运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．