Question

（理科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求

1

|PA|

+

1

|PB|

的取值范围．

Answer 1

（1）由已知可得：点C到P的距离与到定直线l的距离相等．
所以圆心C的轨迹是以p为焦点，定直线l为准线的抛物线，
∴所求抛物线的方程为：x²=4y．
（2）①设AB：y=kx+b，由

y=kx+b x2=4y

，消去y得：x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k．x₁x₂=-4b，∵x₁x₂=-16，
∴b=4，∴直线AB过定点（0，4）．
②由抛物线的定义可知：|PA|=y₁+1，|PB|=y₂+1，
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

y1+1

+

1

y2+1

=

y1+y2+2

y1y2+y1+y2+1

y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，x₁+x₂=4k．x₁x₂=-16，

1

|PA|

+

1

|PB|

=

k(x1+x2)+10

k2x1x2+5k(x1+x2)+25

=

4k2+10

4k2+25

=1-

15

4k2+25

∈[

2

5

，1)，
∴所求

1

|PA|

+

1

|PB|

的取值范围是[

2

5

，1)．