Question

19．求与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$共焦点，且过点（-2，$\sqrt{10}$）的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为 $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{9-{a}^{2}}$=1（a＞0），代入点的坐标，即可求得结论

解答 解：∵椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$的焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），
∴所求双曲线的焦点为F₁（0，-3），F₂（0，3），
设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{9-{a}^{2}}$=1（a＞0），
把（-2，$\sqrt{10}$）代入，得：$\frac{10}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{9-{a}^{2}}$=1，
解得a²=5或a²=18（舍），
∴双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{5}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查圆锥曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．