Question

1．已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）．
（1）若a=0，b=3，求y=f（x）的切线中与y轴垂直的切线方程．
（2）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
（3）当a=0时，$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=0，b=3，求导数，令f′（x）=得x=0或2，即可求y=f（x）的切线中与y轴垂直的切线方程．
（2）得出函数f（x）在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，则只要t＜0且t+3＞2即可；
（3）问题转化为b≤x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$在对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立．令g（x）=x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$．求出函数的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）当a=0，b=3时，f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=得x=0或2，∴y=0或-4；
（2）当a=0，b=3时，f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x，
令令f′（x）=得x=0或2，根据导数的符号可以得出函数f（x）在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值．
函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，则只要t＜0且t+3＞2即可，
即只要-1＜t＜0即可．
所以t的取值范围是（-1，0）．
（3）当a=0时，$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
即x²-bx+lnx+1≥0对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
也即b≤x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$在对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立．
令g（x）=x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$．
记m（x）=x²-lnx，则m′（x）=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故也是最小值点，
所以m（x）≥$\frac{1}{2}-ln\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，从而g′（x）＞0，
所以函数g（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增．函数g（x）_min=$\frac{5}{2}$-2ln2．
故只要b≤$\frac{5}{2}$-2ln2即可．所以b的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$-2ln2]．  （8分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义、极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．