练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    13．市场上有一种新型的强力洗衣粉，特点是去污速度快，已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{16}{8-x}-1，0≤x≤4\\ 5-\frac{1}{2}x，4＜x≤10\end{array}$，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起有效去污的作用．
    （1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？
    （2）若先投放2个单位的洗衣液，6分钟后投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：$\sqrt{2}$取1.4）

    分析 （1）由题意知有效去污满足y≥4，则$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 4（\frac{16}{8-x}-1）≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4＜x≤10\\ 4（5-\frac{1}{2}x）≥4\end{array}\right.$，解得答案；
    （2）${y_1}=2（5-\frac{1}{2}{x_1}）$，（6≤x1≤10），${y_2}=a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）$，（0≤x2≤4）分别求出最值，比较后可得答案．

    解答 解：（1）由题意知有效去污满足y≥4，
    则$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 4（\frac{16}{8-x}-1）≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4＜x≤10\\ 4（5-\frac{1}{2}x）≥4\end{array}\right.$
    得0≤x≤8，所以有效去污时间可能达8分钟．
    （2）${y_1}=2（5-\frac{1}{2}{x_1}）$，（6≤x1≤10），${y_2}=a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）$，（0≤x2≤4）
    令x1=6+x2，x2∈[0，4]，${y_1}+{y_2}=2（2-\frac{x_2}{2}）+a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）≥4$，（0≤x2≤4）
    ∴$a≥{x_2}•\frac{{8-{x_2}}}{{8+{x_2}}}$，若令t=8+x2，t∈[8，12]，$a≥-（t+\frac{128}{t}）+24$，
    又$-（t+\frac{128}{t}）+24≤24-16\sqrt{2}≈1.6$，
    所以a的最小值为1.6．

    点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数模型的选择与应用，难度中档．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    3．设x＞0，y＞0，且x+2y=1，则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值为9．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    4．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递减，f（2）=0，则满足f（1-x）＜0的实数x的取值范围是（-1，3）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    1．已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）．
    （1）若a=0，b=3，求y=f（x）的切线中与y轴垂直的切线方程．
    （2）若a=0，b=3，函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
    （3）当a=0时，$\frac{f（x）}{x}$+lnx+1≥0对任意的x∈[$\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，求b的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    8．已知命题p：函数f（x）=$\frac{2x+3}{x}$图象的对称中心为（0，3）；命题q：若单位向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|，则2$\overrightarrow{a}$⊥3$\overrightarrow{b}$，则下列命题是真命题的为（　　）
    A．（￢p）∧qB．p∧qC．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    18．在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，则角A大小为（　　）
    A．120°B．90°C．60°D．45°

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    5．函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后关于原点对称，则φ等于（　　）
    A．$\frac{π}{6}$B．-$\frac{π}{6}$C．$\frac{π}{3}$D．-$\frac{π}{3}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    2．数列{an}满足：a1=$\frac{4}{3}$，且an+1=$\frac{4（n+1）{a}_{n}}{3{a}_{n}+n}$，（n∈N+），则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{3}{{a}_{3}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$=$2015\frac{2}{3}+\frac{1}{3•{4}^{2016}}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    3．已知E（2，0），F（2，2）分别为正方形ABCD的边AB与CD的中点．
    （1）求正方形ABCD外接圆的方程；
    （2）求对角线AC与BD所在直线的方程．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案