Question

10．已知函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，其中$\overrightarrow m=（sinωx+cosωx，\sqrt{3}cosωx）$，$\overrightarrow n=（cosωx-sinωx，2sinωx）$，其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，a=$\sqrt{3}$，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性即可确定出f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A）=1及第一问的解析式确定出A的度数，再由a，b+c的值，利用余弦定理求出bc的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，其中$\overrightarrow m=（sinωx+cosωx，\sqrt{3}cosωx）$，$\overrightarrow n=（cosωx-sinωx，2sinωx）$，
得f（x）=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
T=π，∴ω=1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
则f（x）的递增区间是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴0＜2A＜2π，即$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$，
∵a=$\sqrt{3}$，b+c=3，
∴根据余弦定理得，3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3bc，
∴bc=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了余弦定理的应用，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．