Question

19．已知直线l₁：ax+4y-2=0直线l₂：2x+y+2=0，且两条直线互相垂直．
（1）直线l₁与l₂的交点坐标；
（2）已知圆C：x²+y²+6x+8y+21=0，判断直线l₁与圆C有无公共点，有几个公共点．

Answer 1

分析 （1）由l₁⊥l₂得，2a+4=0，解得a后代入联立直线方程，可得直线l₁与l₂的交点坐标；
（2）已知圆C：x²+y²+6x+8y+21=0，圆心坐标是（-3，-4），半径r=2，求出圆心到直线的距离，可得直线与圆的关系，进而可得公共点个数．

解答 解：（1）由l₁⊥l₂得，2a+4=0，a=-2，
即l₁：x-2y+1=0，
联立两条直线的方程，得到方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+y+2=0\\ x-2y+1=0\end{array}\right.$，
解方程组得，x=-1，y=0，
所以，两条垂直直线的交点坐标为（-1，0）．
（2）圆C的圆心坐标是（-3，-4），半径r=2，圆心到直线l₁：x-2y+1=0的距离$d=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，∴d＞r，所以直线l₁与圆C相离，没有公共点．

点评 本题考查的知识点是直线的交点，直线垂直，直线与圆的位置关系，难度中档．