Question

9．已知右焦点为F（c，0）的椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（4，0）且不垂直于y轴的直线与椭圆M交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称原点为E，证明：直线PE与x轴的交点为F．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：a=2c，又a²=3+c²，解得a²即可得出椭圆M的方程．
（2）设直线PQ的方程为：y=k（x-4）（k≠0），代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），E（x₂，-y₂），直线PE的方程为：y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0，可得x=-y₁$•\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+x₁，把根与系数的关系代入即可证明．

解答 （1）解：由题意可得：a=2c，又a²=3+c²，解得a²=4．∴椭圆M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：设直线PQ的方程为：y=k（x-4）（k≠0），代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
由△=（-32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k∈$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），E（x₂，-y₂），∴x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁，•x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，则直线PE的方程为：y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0，可得x=-y₁$•\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+x₁=$\frac{{x}_{1}k（{x}_{2}-4）+{x}_{2}k（{x}_{1}-4）}{k（{x}_{1}+{x}_{2}-8）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$=$\frac{\frac{2（64{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}-4×\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-8}$=1，
∴直线PE与x轴的交点为F（1，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．