Question

14．已知，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）若在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，$\frac{π}{3}$），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的和．

Answer 1

分析 （1）把点P的极坐标为$（4，\frac{π}{3}）$化为直角坐标为（2，2$\sqrt{3}$），把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为直角坐标方程，把点P的坐标代入直线l的方程是否满足即可判断出位置关系．
（2）点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得：直角坐标方程为（x-2）²+y²=1，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，故点Q到直线l的距离的最小值为d-r，最大值为d+r，即可得出．

解答 解：（1）把点P的极坐标为$（4，\frac{π}{3}）$化为直角坐标为（2，2$\sqrt{3}$），
把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t为参数），化为直角坐标方程为y=$\sqrt{3}$x+1，
由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上．
（2）∵点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
把曲线C的方程化为直角坐标方程为（x-2）²+y²=1表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}-0+1|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$，
故点Q到直线l的距离的最小值为d-r=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$，最大值为d+r=$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，
∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的和为2$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．