Question

5．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距32海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东28$\sqrt{2}$海里处．
（1）求此时该外国船只与D岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时8海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛24海里处，不让其进入D岛24海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．（参考数据：sin36°52'≈0.6，sin53°08'≈0.8）

Answer 1

分析 （1）△ABD中，由余弦定理求解得BD的值，即为所求．
（2）过点B作BC⊥AD于点C，以点D为圆心、以24为半径的圆交BC于点E，连结AE，DE，
则由题意可得，我海监船在点C处拦截住外国船只时，我海监船的速度
v取得最小值．求得AC=BC、CD的值，再求得CE、BE、AE的值，可得外国船只沿正南方向航行的时间，从而求得我海监船的速度v，由sin∠EAC=$\frac{CE}{AE}$求得∠EAC 的值，进而可求海监船的航向．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=45°，
由余弦定理得$D{B^2}=A{D^2}+A{B^2}-2AD•AB•cos{45^0}={（{28\sqrt{2}}）^2}+{32^2}-2×28\sqrt{2}×32×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=800$，
∴$DB=20\sqrt{2}$．…（4分）
即此时该外国船只与D岛的距离为$20\sqrt{2}$海里．…（5分）
（2）过点B作BC⊥AD于点C，
在Rt△ABC中，$AC=BC=16\sqrt{2}$，
∴$CD=AD-AC=12\sqrt{2}$，…（6分）
以D为圆心，24为半径的圆交BC于点E，连结AE，DE，
在Rt△DEC中，$CE=\sqrt{E{D^2}-C{D^2}}=12\sqrt{2}$，
∴$BE=4\sqrt{2}$，…（7分）
又$AE=\sqrt{A{C^2}+C{E^2}}=20\sqrt{2}$，
∴$sin∠EAC=\frac{CE}{AE}=\frac{3}{5}⇒∠EAC≈{36^0}52'$，…（9分）
外国船只到达点E的时间$t=\frac{BE}{8}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（小时），
∴海监船的速度$v≥\frac{AE}{t}=40$（海里/小时），…（11分）
故海监船的航向为北偏东90⁰-36⁰52'=53⁰08'，速度的最小值为40海里/小时．…（12分）

点评 本题主要考查解三角形的实际应用，直角三角形中的边角关系、余弦定理的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．