Question

16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=1，BC=2，∠DCB=60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，将梯形ABCD以l为轴旋转一周
（1）求旋转体的体积；
（2）求旋转体的表面积．

Answer 1

分析 （1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，由此能求出旋转体的体积．
（2）先求出圆柱的侧面积、底面积，再求出圆锥的侧面积、底面积和旋转体上底面的面积，由此能求出结果．

解答 解：（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
$CD=\frac{BC-AD}{cos60°}=2，AB=CDsin60°=\sqrt{3}$，
∴小圆锥的半径r=BC-AD=1，
$圆柱的体积{V_1}=π{R^2}h=π×{2^2}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}π$，
$圆锥的体积{V_2}=\frac{1}{3}π{r^2}h=\frac{1}{3}π×{1^2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}π$，
∴$旋转体的体积V={V_1}-{V_2}=4\sqrt{3}π-\frac{{\sqrt{3}}}{3}π=\frac{{11\sqrt{3}}}{3}π$…（5分）
$（2）圆柱的侧面积{S_1}=2πRl=2π×2×\sqrt{3}=4\sqrt{3}π$
圆锥的侧面积S₂=πrl=π×1×2=2π，
$圆柱的底面积{S_3}=π{R^2}=π×{2^2}=4π$，
$圆锥的底面积{S_4}=π{r^2}=π×{1^2}=π$，
旋转体上底面的面积S₅=S₃-S₄=3π，
∴$旋转体的表面积={S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_5}=（4\sqrt{3}+9）π$．…（12分）

点评 本题考查旋转体的体积和表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．